ولد عبد العزيز في عام 1951 في حي العشير بمدينة واد مدني بولاية الجزيرة في وسط السودان وفيها ترعرع ، ووالده هو المبارك حامد الحبر الذي ترجع جذوره إلى مدينة العيلفون القريبة من العاصمة الخرطوم وكان يعمل في التجارة بمدينة المناقل. ووالدته هي الحاجة آمنة بنت القطيرة. تزوج عبدالعزيز أولا من الأستاذة منى خضر المحامية وأنفصلا ليتزوج ثانية بالسيدة مها عبد القادر عثمان. وله بنتان توأم هما منية وأمل.